MATEMÁTICAS DISCRETAS

miércoles, 2 de diciembre de 2015

Sistemas numéricos

SISTEMAS NUMÉRICOS

Sistema decimal a binario

a) 214=          11010110
b) 4218=        1001110011010
c) 2514=        100111010010
d) 3219=        110010010011
e) 6527=        1100101111111

Sistema decimal a octal

201₁₀= 311₈

a) 240= 360

b) 255= 377

c) 239= 357

d) 218= 332

e) 193= 301

f) 128= 200

g) 160= 240

Sistema decimal a hexadecimal

Decimal Octal Binario Hexadecimal

1 1 000 001 1

2 2 000 010 2

3 3 000 011 3

4 4 000 100 4

5 5 000 101 5

6 6 000 110 6

7 7 000 111 7

8 10 000 000 8

9 11 000 001 9

10 12 000 010 A

11 13 000 011 B

12 14 000 100 C

13 15 000 101 D

14 16 000 110 E

15 17 000 111 F

3 0

16√59 16√3
48 3

59₁₀=3b₁₆

A) 253= DF

B) 209= D1

C) 217= D9

D) 199= C7

E) 176= B0

F) 124= 7C

Los números se pueden convertir del sistema viario al octal gracias a que cada grupo de 3bits binarios corresponden exactamente a un digito en octal, los dígitos binarios se agrupan entonces de 3 en 3.

Sistema binario a octal

000 001 111

001 111

_{4
2 1} _{4 2 1} _{4 2 1}

011 111 101 ₂= 375₈

3 7 5

Sistema octal a binario

56₈= 101 110

Suma de binarios

Reglas

Ø+Ø= Ø

Ø+1= 1

1+Ø= 1

1+1= 1Ø (acarreo) =1

₊011

001

100

Calculo del opuesto complemento A1

El compuesto de un numero en complemento A1 en su complemento A1, ej.

-2₁₀ con 5 dígitos es 11101, su complemento es 2₁₀

10₁₀ con 5 dígitos es 01100, su complemento es 012₁₀

En otras palabras el complemento A1 de un número binario se obtiene cambiando cada Ø por 1 y viceversa, Se cambia cada bit del número por su complemento.

Complemento A2

El complemento A2 de un número binario se obtiene tomando el complemento A1, y sumándole 1 al bit menos significativo, ej.

Fórmula general

-00111111 -00111111

00011100 11100011

01011011 00100010 Si ay acarreo se pasa y se vuelve a

+ 1 sumar.

00100010

Cardinalidad

CARDINALIDAD

La cardenalidad del conjunto se define como el número de elementos que posee, se denota por medio de los símbolos.
Cardinalidad
n,#

- Conjuntos con nombres específicos

Un conjunto vacío o nulo es aquel que no pose elementos se denota por los siguientes símbolos Ø, { }. El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es un subconjunto de cualquier conjunto, ej.

Ø = { x|x son los dinosaurios que viven en la actualidad }

{ } = { x|x son los hombres mayores de 300 años }

Ø = { x|x son números positivos menores que cero }

- Conjunto universal

Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración, se denota con la letra U y gráficamente se le representa mediante un rectángulo.

U= {x|x son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

A= {x|x son los días de la semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

B= {x|x son los fines de semana} = {sábado, domingo}

C= {x|x son los días de la semana con menos de 7 letras} = {lunes, martes, jueves, sábado}

Nótese= ACU, ACU, CCU

V V V

- Conjunto finito

Es aquel cuyos elementos pueden ser contados, ej.

J= {x|x es la cantidad de días del mes de junio}

K= {x|x² =4}

L= {x|x es la cantidad de autos en el DF}

- Conjunto infinito

Es aquel cuyo elementos no pueden ser contados que es decir su cardenalidad no está definida.

M= {1, 3, 5, 7, 9,.............. ∞}

N= {2, 4, 6, 8, 10,................ ∞}

O= {x|x es la cantidad de puntos en una línea}

- Conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos y se denotan con el símbolo de igual.

R= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

S= {x|x es un digito}

R= 5

· Desigualdad de conjuntos

Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen los mismos elementos, se denota por el símbolo ≠, ej.

D= {x|x²=9}

E= {-2,2}

D≠ E

· Conjuntos equivalentes

Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad se denota por el símbolo ≈

W= {x|x son las estaciones del año}

Z= {x|x es un punto cardinal}

W ≈ Z

n(W)=4

n(Z)=4

· Operaciones con conjuntos

La unión de los conjuntos A, B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B, sin repetir ninguno y se denota como AuB. Esto es:

AuB= {x|x EA o XEB}

Ej.

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano}

AuB= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia, durazno, melón, plátano}

· Operaciones con conjuntos

La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denotan AnB, esto es:

Ej.

AnB= {x|x EA y xEB}

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano]

AnB= {uva, naranja, sandia}

- Operaciones con conjuntos

Dos conjuntos son ajenos, cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir que no tienen nada en común.

Ej.

AnE= { }

AnE= Ø

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

E= {limón, fresa, pera, mandarina, cereza}

- Operaciones de conjuntos

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal, es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denotan como A’. Esto es:

A’= {xEU|x ∉ A}

U= {mango, kiwi, ciruela, uva, pera, naranja, cereza, manzana, sandia, durazno, limón, melón, plátano}

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

A’= {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano}

En este ejemplo se puede notar como n(A)+n(A’)=n(u)

n(A)=6

n(A¨)=7

n(U)=13

La diferencia de los conjuntos A y B (en este orden ) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denotan como A-B. Esto es:

A-B={x|x EA y X∉B}

A= {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandia}

B= {durazno, melón, uva, naranja, sandia, plátano}

B-A= {mango, ciruela, manzana}

A-B= {durazno, melón, plátano} Se puede advertir como

A-B ≠ B-A

Conjunto

CONJUNTOS

Es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar dos conjuntos se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento X¹ pertenece a un conjunto A se expresa de manera simbólica X¹ E A. En caso de que un elemento no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación X¹ no pertenece a A.

Existen 4 formas de enunciar a los conjuntos:

1. Por extensión o enumeración: Los elementos son descifrados entre llaves y separados por comas:

A= { x¹, x², x³......................xⁿ }

2. Por comprensión: Los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves .En este caso se emplea el símbolo | (tal que)

A= { x| P(x) } = { x1, x2, x3,......................xⁿ }

3. Diagrama de Benn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o relaciones entre conjuntos.

x¹. .x²

x³. .x⁴

4. Por descripción verbal: Es un enunciado que describe las características que es común para los elementos. Ej. Dada la descripción verbal, el conjunto de las letras vocales, exprésalo por extinción y diagrama de Benn.

1.- A= { a,e,i,o,u } 2.- A= { x|P(x) } = { a,e ,i ,o ,u } 3.-

U a. .e

i. .o

.u A

Ejercicio: Expresa de todas las formas posibles, al conjunto de los planetas del sistema solar.

1.- A= { Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón }

2.- A= { x|P(x) } = { Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón }

3.- U

.Mercurio .Venus .Tierra

.Marte .Júpiter .Saturno .Urano

.Neptuno Plutón. A

Tautología y Formula general

TAUTOLOGÍA

Es un término que proviene de un vocablo griego y que hace referencia a la repetición de un mismo pensamiento a través de distintas expresiones. Una tautología para la retórica, es una afirmación redundante.
Sorpresa inesperada
Un lleno completo
Proyecto de futuro
(9+1)!=(9+1)(9!)>=(9+1)2(9)-1>2*2(9)-1>=2(9)
10!=(10)(362880)>=(10)(18)-1>=2*18-1>=18
362880=362880>=180-1>=36-1>=18
362880=362880>=179>=35>=18 V

FORMULA GENERAL

Y= 4x²-5y ((4*(x*x))-(5*y)) / ((2*(x*x*x))-(6*(y*y)))
2x³-6y²

X₁=b+(SQRT((b*b)-(4*a*c))) / (2*a)

X₂=b-(SQRT((b*b)-(4*a*c))) / (2*a)

Inducción Matemática

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La inducción es un racionamiento matemático que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro N que tomo una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales.
Ejemplo:
n=1                                        n=2                                        n=3
n!>=2(1)-1                             n!>=2(2)-1                             n!>=2(3)-1
1>=1                                      2>=3                                      6=5
V                                            F                                             F

Ejercicios:     (n+1)!=(n+1)(n!)

n=1
(1+1)!=(1+1)(1!)
2!=(2)(1)
2=2
V
n=6
(6+1)!=(6+)(6!)
7!=(7)(720)
5040=5040
V

Tablas de Verdad

TABLAS DE LA VERDAD

No (˺, ̅ )
Una sentencia que es modificada con el conectivo NO, es llamada la negación de la sentencia original.

P	˺ P
F	V
V	F

Y (^)
La conjunción de P, Q es denotada como P^Q.
La conjunción es verdad solo si P y Q son verdaderas.

P	Q	P^Q
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

O (v)
La disyunción de P,Q es denotada como PvQ. La disyunción es verdadera si al menos uno de sus elementos es verdadero.

P	Q	PvQ
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

Implicación (→)
Para dos declaraciones P,Q, decimos P implica a Q y se escribe P→Q. La preposición P es llamada la hipótesis o antecedente de la implicación .Q es llamada la conclusión o consecuente de la implicación.

P	Q	P→Q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

Si y solo si o doble implicación (↔)
Otra declaración común en matemáticas es P si y solo si Q, o simbólicamente ↔. Esto es llamado la equivalencia de 2 proposiciones si P entonces Q y si Q entonces P, Q es condiciona necesaria y suficiente para P.

P	Q	P↔Q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

Ejercicio

P Q R	QvR	P→(QvR)	P→(QvR)
V V V	V	V	V
V V F	V	V	V
V F V	V	V	V
V F F	F	V	V
F V V	V	V	V
F V F	V	V	V
F F V	V	V	V
F F F	F	F	F